Para dar respuesta a estas preguntas lo primero que hay que estudiar, y definir con precisión, es que se entiende por cálculo, y por algoritmo, conceptos estos que se han venido utilizando desde el Renacimiento, sin ser sometidos a la necesaria crítica, (como hemos expuesto en las paginas anteriores), pero que a partir de los descubrimientos de Gödel, era imprescindible que se aclararan, pues ya se había perdido definitivamente la esperanza, acariciada por Raimundo Lulio 29, y también pretendida por Leibniz, de que ante cualquier situación conflictiva, en la que se presentase una discrepancia entre personas, esta se resolviese, en vez de utilizar discusiones acaloradas, mediante el cálculo (calcular en lugar de discutir).
En los años 30 del siglo XX, varios lógicos matemáticos 30, inician la tarea de definir con precisión lo que se entiende por calculabilidad, profundizando en las ideas de algoritmo y de función calculable, dando como resultado los conceptos de funciones recursivas, y de máquinas de Turing. En el primer caso se trata de encontrar las funciones calculables más simples posibles a partir de las cuales por composición y por recursión se van obteniendo las demás funciones que pueden ser efectivamente calculables o computables. En el segundo caso se trata de definir máquinas compuestas por conjuntos de instrucciones de la mayor sencillez posible con la finalidad de obtener de forma efectiva el resultado de una función calculable.