Sistemas formales

La pretensión de formalización del pensamiento, que se inició con la osadía de Boole al pretender haber encontrado ``las leyes del pensamiento", dió origen a un interés renovado por la lógica y a la aparición de la lógica matemática ²¹ (Morgan ²² , Frege ²³, Russell ²⁴, Hilbert²⁵), que se inicia en la segunda mitad del siglo XIX, y que incide de forma determinante en la moderna fundamentación de la matemática, y en el desarrollo de la teoría de conjuntos (Peano, Cantor).

La idea de formalización de una teoría es la que brevemente exponemos a continuación.

Definimos a un sistema formal, como una cuádrupla:

$$S = ( \Sigma , F , A , R )$$

donde sus elementos los interpretamos como sigue:

$\Sigma$ :

es un alfabeto.

$F$ :

es un subconjunto recursivo de $\Sigma^*$, llamado conjunto de fórmulas ( $F \subseteq \Sigma$*).

$A$:

es un subconjunto recursivo de $F$, cuyos elementos reciben el nombre de axiomas. $(A \subseteq F)$.

$R$:

es un conjunto finito de reglas de inferencia, de la forma $R_i ( x_1 , x_2 , ... x_m ; y)$, cuyas variables tomarán valores en $F$. En estas reglas se dice que la fórmula $y$ se obtiene a partir de las $x_1 , x_2 , ... x_m$ mediante $R_i$ , o que $y$ es consecuencia de $x_1 , x_2 , ... x_m$.

Dado un sistema formal $S$, decimos que $d$ es una demostración en $S$, si $d$ es una secuencia finita de fórmulas

$$x_1 , x_2 , x_3 , . . . . x_n$$

que comienza con un axioma $( x_1 \in A )$, y en la que cualquier elemento posterior o es un axioma o se puede deducir a partir de otros elementos que ya están en la demostración.

Decimos que una formula $x_n$ es un teorema de $S$ , si y sólo si existe una demostración

$$d \equiv x_1 , x_2 ,. . . . x_n$$

.

Un ejemplo de sistema formal para la lógica proposicional, es el que damos en la nota ²⁶, en donde tambien se da un ejemplo de demostracion formal.

Con el desarrollo de los sistemas formales se abrió la espectativa de poder reducir la demostración a cálculo, y con ello se produjo una gran esperanza que llevó a la búsqueda de la pretendida demostración automática, es decir de procedimientos para la definición de algoritmos capaces de construir la secuencias de fórmulas que formen una demostración. Pero pese a que esta búsqueda hizo avanzar la lógica matemática con algunos éxitos ²⁷ estos no lograron el intento de alcanzar la demostración automática, imposibilidad que dejaron patentes los limitadores teoremas de Godel ²⁸que básicamente dicen que, en general, los sistemas formales o son incompletos, o son inconsistentes; es decir, en el primer caso se trataría de sistemas que contienen fórmulas para las que no existe una demostración (en el sentido formal), y en el segundo, que contienen fórmulas para las que existe una demostración y también para su negación. Con este planteo renacen y vuelven a aparecer los fantasmas que llevan consigo los dilemas y las aporías lógicas. (Desde las antiguas del mentiroso, del barbero, la del puente y la horca, y las mas recientes como las vinculadas con la teoría de conjuntos como la de Russell, de la que ya hemos subrayado su importancia mas arriba.)

Estos avances pusieron cota a la ilusión de que todo sea calculable. Y si no todo es calculable surgen las preguntas, qué se puede calcular? dónde están los límites de la calculabilidad?.