El cálculo geométrico

Veamos también, para ilustrar la idea de cálculo, algunos ejemplos geométricos, y cuales fueron los primeros instrumentos utilizados para ayudar a efectuarlos: la regla y el compás. Construir un triángulo equilátero⁴ (la trinidad), construir un exagono regular, trazar una perpendicular por un punto dado a una recta dada, hallar la bisectríz de un ángulo, hallar el lado de un cuadrado que tenga una superficie doble de un cuadrado dado (ver figura   1),...y una infinidad de otros más, son problemas, llamados elementales, que desde la geometría clásica se vienen planteando y resolviendo mediante el empleo de procedimientos que se basan en el solo uso de la regla y del compás, y de los que Euclides en sus famosos Seis Libros da cumplido repertorio.

También se usaron la regla y el compás para realizar algunos cálculos aritmeticos. Un ejemplo curioso es la forma de calcular, por procedimientos geométricos, la raíz cuadrada de la serie de los números naturales $\sqrt 2$, $\sqrt 3$, $\sqrt 4$, $\sqrt 5$ ...(ver figura 1).

Pero tambien se plantearon otros problemas que se resistieron a que su resolucion se pudiera obtener aplicando cálculos con la regla y el compás . Algunos eran simples generalizaciones de otros ya resueltos, como hallar la trisectriz (no hay solución al problema de la trisección del ángulo), hallar la arista de un cubo que tenga volumen doble de un cubo dado (no hay solución al problema de la duplicación del cubo),...y el problema estrella durante muchos siglos fue: hallar el lado de un cuadrado que tenga el mismo área que un circulo dado (no hay solución al problema de la cuadratura del circulo). Como veremos mas adelante, decir en estos términos que un problema no tiene solucion, solo quiere decir que no existe un algoritmo, es decir un procedimiento, mediante el cual podamos encontrar la solución aplicando un número finito de veces las operaciones que se pueden realizar con la regla y el compás. La demostración de la inexistencia de estos algoritmos para los problemas de la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo solo se logró en la segunda mitad del siglo XIX.

La trigonometría, empujada por las aplicaciones astronómicas y náuticas requiere cálculos que se realizan de una forma analógica, (modernamente se ha llamado nomografía a cálculos realizados mediante la representación gráfica de curvas, y levas) construyendo astrolabios, ballestillas, esferas armilares, cartas náuticas y globos terráqueos mediante los que se realizan representaciones de la realidad donde medir es otra forma que calcular (o de aprovechar cálculos realizados con anterioridad).

Durante los siglos XVI y XVII se inventan gran número de instrumentos mátematicos ⁵ para abordar los mismos y otros problemas con otras reglas básicas, pensando que tal vez la insolubilidad dependiera de las reglas utilizadas. La idea de automatismo se inicia en esta época como la aplicación de métodos para resolver problemas ``sin saber mátematicas", ⁶ es decir, sin reflexionar y solo aplicando unas reglas aprendidas..