Una vez que hemos visto, con mayor generalidad, lo que se entiende por un cálculo, veremos que esta noción se aplica, no solo a las operaciones geométricas, numéricas y algebraicas, sino también a las operaciones lógicas. Para ello demos unas ideas sobre en que consiste el cálculo de proposiciones, tambien conocido como álgebra de Boole 13 , y como puede materializarse este cálculo lógico mediante máquinas. Esta teoría matemática es el fundamento de los actuales ordenadores electrónicos y por tanto uno de los aspectos en que de forma más directa esta vínculada la informática con la matemática. Más adelante veremos como la lógica formal, o lógica matemática, también es el fundamento de los lenguajes de programación: otro de los pilares en los que se apoya la informática.
En que consiste el cálculo de proposiciones?
Una proposición es una frase o expresión a la que se puede asignar el valor lógico de verdadero o de falso; si toma el valor de verdadero se la llama proposición verdadera y si toma el valor de falso se la llama proposición falsa. Por ejemplo, la proposicion
La proposición p la casa de Juan es blanca será verdadera o falsa según sea el color de la casa de Juan, en este caso a se llama variable proposicional. En la lógica las proposiciones suelen expresarse por letras y los valores lógicos de verdadero y falso se representan por las letras , , respectivamente. Al escribir , no se quiere decir que ``la proposición es igual a " sino que ``la proposición toma el valor verdadero" o que es verdadera.
Dadas dos proposiciones, , , se pueden formar otras proposiciones compuestas de aquellas, aplicando las operaciones lógicas de negación, conjunción, y disyunción:
Estas tablas son conocidas con el nombre de tablas verdad de las operaciones.
Una función proposicional es una correspondencia entre los valores de verdad de una o varias proposiciones independientes llamadas variables, con otra proposición dependiente de aquellas, llamada función, mediante operaciones lógicas, que excpresamos
Como cualquier función se puede obtener por composición de otras funciones más elementales, podemos construir su tabla de verdad descomponiendo la función hasta llegar a las variables proposicionales y a partir de ahí calcular sucesivamente los valores de cada columna aplicando las tablas de verdad de las funciones u operaciones elementales.
El cálculo del valor de verdad de una función proposicional, por ejemplo la siguiente:
Primero realizamos la asignación de valor a las variables
poniendo, por ejemplo, en nuestro caso hacemos
, es decir, tendriamos :
Así que podemos decir que para
Si repetimos este cálculo para toda posible terna de valores de
tendríamos que la tabla de verdad correspondiente a
es la siguiente:
V | F | F | V | V | V | V | F | V |
V | F | V | F | V | F | V | F | F |
V | V | F | V | F | V | F | V | V |
V | V | V | F | F | F | F | V | V |
F | F | F | V | V | F | F | V | V |
F | F | V | F | V | F | F | V | V |
F | V | F | V | F | F | F | V | V |
F | V | V | F | F | F | F | V | V |
Para el desarrollo de la informática y para la construcción de los ordenadores ha sido fundamental el estudio del cálculo de proposiciones, y especialmente el hecho de que las proposiciones tienen una lógica binaria, ya que solo toman uno entre dos valores posibles, el verdadero o el falso. Este propiedad hace que la lógica de Boole pueda materializarse facilmente mediante circuitos eléctricos que usen algún tipo de elemento biestable (básicamente que en ciertas condiciones permita o no el paso de corriente por un cable dado), como son los relais, los transistores, u otros, que usen propiedades adecuadas de la física.