Hemos dicho que una de las características de los procedimientos de cálculo es que sus reglas han de ser sencillas y fáciles expresar para permitir su aprendizaje y la utilización de las mismas sin mayor esfuerzo.
Los cálculos aritméticos pronto alcanzaron cierta complejidad, y describirlos en el lenguaje corriente o natural hacia difícil su descripción y por tanto su transmisión y utilización, sobre todo cuando se trataba de exponer métodos de resolución para familias enteras de problemas.
Para superar esta dificultad se vio cada vez como más necesario apoyarse en símbolos y notaciones mediante los cuales definir un leguaje (distinto del natural empleado hasta entonces), que fuese más adecuado para expresar y describir las ideas y los procedimientos matemáticos. Así apareció y se fue desarrollando el álgebra, como lenguaje formal, y la idea de algoritmo, o cálculo algebraico, como automatismo para la resolución de problemas. Esta formalización de la aritmética se va depurando, desde los primeros tratados de la ``regla de la cosa" 10, hasta alcanzar su madurez mediante las expresiones algebraicas, que permitían describir con sencillez las operaciones del álgebra. Utilizando las expresiones algebraicas es mas facil encontrar y dar las fórmulas para la resolución de ecuaciones algebraicas de los grados inferiores. Estas fórmulas sintetizaban algoritmos, es decir procedimientos automáticos mediante los cuales a partir de los datos del problema obtener la solución, o dicho en términos matemáticos, a partir de los coeficientes de la ecuación obtener sus raíces.
En efecto, estas formulas indican el orden en que deben realizarse ciertas operaciones con los coeficientes para obtener el resultado. Estas operaciones son, en el álgebra clásica (el álgebra del siglo XVI) , la suma, la resta, el producto, la división y la raíz cuadrada, y se decía ``resolver ecuaciones por radicales" 11cuando se utilizaban estas formulas o los algoritmos por ellas representados, en las que la raíz cuadrada jugaba un papel esencial en las mismas.
Con este tipo de algoritmos con radicales, se obtuvieron, en el siglo XVI, procedimientos ``automáticos" para resolver tambien las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Pero no pudieron encontrarse algoritmos de este tipo para ecuaciones algebraicas de grado superior al cuarto 12, lo que significó un acicate para buscar otros procedimientos de cálculo.
Mucho del esfuerzo matemático de los siglos XVII y XVIII, se dedicó a reducir el pensamiento a cálculo, es decir buscar la forma de realizar procedimientos efectivos mediante los que obtener de forma ``automática" (no depender de la feliz idea) la resolución de problemas.
Aunque esa pretensión no se consiguió, en esta búsqueda se desarrolló el cálculo analítico o formal (cálculo infinitesimal de Newton (1642-1727) y de Leibniz (1646-1716), la geometría analítica de Descartes (1596-1650)) y cálculo numérico (como fueron los desarrollos en serie para realizar el cálculo efectivo de funciones matemáticas, uno de cuyos principales artífices fue Euler (1707-1783)).