Las leyes del pensamiento.

Una vez que hemos visto, con mayor generalidad, lo que se entiende por un cálculo, veremos que esta noción se aplica, no solo a las operaciones geométricas, numéricas y algebraicas, sino también a las operaciones lógicas. Para ello demos unas ideas sobre en que consiste el cálculo de proposiciones, tambien conocido como álgebra de Boole ¹³ , y como puede materializarse este cálculo lógico mediante máquinas. Esta teoría matemática es el fundamento de los actuales ordenadores electrónicos y por tanto uno de los aspectos en que de forma más directa esta vínculada la informática con la matemática. Más adelante veremos como la lógica formal, o lógica matemática, también es el fundamento de los lenguajes de programación: otro de los pilares en los que se apoya la informática.

En que consiste el cálculo de proposiciones?

Una proposición es una frase o expresión a la que se puede asignar el valor lógico de verdadero o de falso; si toma el valor de verdadero se la llama proposición verdadera y si toma el valor de falso se la llama proposición falsa. Por ejemplo, la proposicion $p$

$$p \equiv 3 > 5$$

es una proposición falsa, y la proposicion $q$

$$q \equiv 4 = 3 + 1$$

es una proposición verdadera.

La proposición p $\equiv$ la casa de Juan es blanca será verdadera o falsa según sea el color de la casa de Juan, en este caso a $p$ se llama variable proposicional. En la lógica las proposiciones suelen expresarse por letras y los valores lógicos de verdadero y falso se representan por las letras $V$, $F$, respectivamente. Al escribir , no se quiere decir que ``la proposición $p$ es igual a $V$" sino que ``la proposición $p$ toma el valor verdadero" o que $p$ es verdadera.

Dadas dos proposiciones, $p$, $q$, se pueden formar otras proposiciones compuestas de aquellas, aplicando las operaciones lógicas de negación, conjunción, y disyunción:

• negacion: no $p$         ($\neg$ $p$)
• conjuncion: $p$ y $q$         ($p$ $\wedge$ $q$)
• disyuncion: $p$ o $q$         ($p$ $\vee$ $q$)

El cálculo de proposiciones nos ayuda a conocer el valor de verdad de una proposición compuesta, en función del valor de verdad de las proposiciones componentes, usando las siguientes tablas mediante las que se asigna el valor a las funciones elementales (que son las que se obtienen simplemente aplicando una vez las operaciones lógicas):

Tabla de verdad de la negación

$\bf p$	$\bf\neg p$
$F$	$V$
$V$	$F$

Tabla de verdad de la conjunción

$\bf p$	$\bf p$	${\bf p} {\bf\wedge} {\bf q}$
$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$F$
$V$	$F$	$F$
$V$	$V$	$V$

Tabla de verdad de la disyunción

$\bf p$	$\bf p$	${\bf p} {\bf\vee} {\bf q}$
$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$
$V$	$F$	$V$
$V$	$V$	$V$

Estas tablas son conocidas con el nombre de tablas verdad de las operaciones.

Una función proposicional es una correspondencia entre los valores de verdad de una o varias proposiciones independientes $\{p_1 , p_2 , . . . p_n \}$ llamadas variables, con otra proposición $r$ dependiente de aquellas, llamada función, mediante operaciones lógicas, que excpresamos

$$r \equiv f (p_1 , p_2 , . . . p_n )$$

Como cualquier función se puede obtener por composición de otras funciones más elementales, podemos construir su tabla de verdad descomponiendo la función hasta llegar a las variables proposicionales y a partir de ahí calcular sucesivamente los valores de cada columna aplicando las tablas de verdad de las funciones u operaciones elementales.

El cálculo del valor de verdad de una función proposicional, por ejemplo la siguiente:

$$r \equiv ((p_1 \wedge \neg p_3) \vee \neg (p_1 \wedge \neg p_2)$$

consiste en determinar el valor de verdad de $r$ para unos valores de verdad particulares asignados a $p_1 , p_2 ,p_3$. Para su cálculo efectivo se procede como indicamos a continuación.

Primero realizamos la asignación de valor a las variables $p_1 , p_2 ,p_3$ poniendo, por ejemplo, en nuestro caso hacemos $\: p_1 = V ,\: p_2 = V,\: p_3 = F$, es decir, tendriamos :

$$r \equiv ((V \wedge \neg F) \vee \neg(V \wedge \neg V))$$

Después con el auxilio de las tablas de verdad, calculando sucesivamente los valores correspondiente a cada operación, como se indica en la siguiente sucesión:

$r = ((V \wedge \mathbf{\neg F)} \vee \neg (V \wedge \neg V))$	$\mathbf{\neg F} = V$
$r = ((V \wedge V) \vee \neg (V \wedge \mathbf{\neg V}))$	$\mathbf{\neg V} = F$
$r = ((\mathbf{V \wedge V}) \vee \neg (V \wedge F))$	$\mathbf{V \wedge V} = V$
$r = (V \wedge \neg (\mathbf{V \wedge F}))$	$\mathbf{V \wedge F} = F$
$r = (V \wedge \mathbf{\neg F})$	$\mathbf{\neg F = V}$
$r = (\mathbf{V \wedge V})$	$\mathbf{V \wedge V} = V$
$r = V$

Así que podemos decir que para

$$p_1 = V, \:p_2 = V,\: p_3 = F$$

el valor de $r$ es verdadero ($r = V$).

Si repetimos este cálculo para toda posible terna de valores de $p_1 ,\: p_2 ,\: p_3$ tendríamos que la tabla de verdad correspondiente a es la siguiente:

$\bf p_1$	$\bf p_2$	$\bf p_3$	$\bf\neg p_3$	$\bf\neg p_2$	$\bf p_1 \bf\wedge \bf\neg p_3$	$\bf p_1 \bf\wedge \bf\neg p_2$	$\bf\neg (p_1 \bf\wedge \bf\neg p_2)$	$\bf r$
V	F	F	V	V	V	V	F	V
V	F	V	F	V	F	V	F	F
V	V	F	V	F	V	F	V	V
V	V	V	F	F	F	F	V	V
F	F	F	V	V	F	F	V	V
F	F	V	F	V	F	F	V	V
F	V	F	V	F	F	F	V	V
F	V	V	F	F	F	F	V	V

Para el desarrollo de la informática y para la construcción de los ordenadores ha sido fundamental el estudio del cálculo de proposiciones, y especialmente el hecho de que las proposiciones tienen una lógica binaria, ya que solo toman uno entre dos valores posibles, el verdadero o el falso. Este propiedad hace que la lógica de Boole pueda materializarse facilmente mediante circuitos eléctricos que usen algún tipo de elemento biestable (básicamente que en ciertas condiciones permita o no el paso de corriente por un cable dado), como son los relais, los transistores, u otros, que usen propiedades adecuadas de la física.